REPASO

EJERCICIOS

Tablas de frecuencias con datos no agrupados

Usamos este tipo de tablas cuando tenemos variables cualitativas, o variables cuantitativas con pocos valores.

Esta tabla está compuesta por las siguientes columnas:

• Valores de la variable: son los diferentes valores que toma la variable en el estudio.
• Frecuencia absoluta: es la cantidad de veces que aparece el valor en el estudio. La sumatoria de las frecuencias absolutas es igual al número de datos.
• Frecuencia acumulada: es el acumulado o suma de las frecuencias absolutas, indica cuantos datos se van contando hasta ese momento o cuántos datos se van reportando.
• Frecuencia relativa: es la fracción o proporción de elementos que pertenecen a una clase o categoría. Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número de datos del estudio.
• Frecuencia relativa acumulada: es la proporción de datos respecto al total que se han reportado hasta ese momento. Es la suma de las frecuencias relativas, y se puede calcular también dividiendo la frecuencia acumulada entre el número de datos del estudio.
• Frecuencia porcentual: es el porcentaje de elementos que pertenecen a una clase o categoría. Se puede calcular rápidamente multiplicando la frecuencia relativa por 100%.
• Frecuencia porcentual acumulada: es el porcentaje de datos respecto al total que se han reportado hasta ese momento. Se puede calcular rápidamente multiplicando la frecuencia relativa acumulada por 100%.

Ejemplo 1:

Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los siguientes resultados:

negro	azul	amarillo	rojo	azul
azul	rojo	negro	amarillo	rojo
rojo	amarillo	amarillo	azul	rojo
negro	azul	rojo	negro	amarillo

Con los resultados obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.

Solución:

En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa, y finalmente la frecuencia relativa acumulada. Por ser el primer problema, no haremos uso de las frecuencias porcentuales.

Color	Frecuencia absoluta	Frecuencia acumulada	Frecuencia relativa	Frecuencia relativa acumulada
Negro	4	4	0,20	0,20
Azul	5	9	0,25	0,45
Amarillo	5	14	0,25	0,70
Rojo	6	20	0,30	1
Total	20		1

Ejemplo 2:

En una tienda de autos, se registra la cantidad de autos Toyota vendidos en cada día del mes de Setiembre.

0; 1; 2; 1; 2; 0; 3; 2; 4; 0; 4; 2; 1; 0; 3; 0; 0; 3; 4; 2; 0; 1; 1; 3; 0; 1; 2; 1; 2; 3

Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.

Solución:

En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa, y finalmente la frecuencia relativa acumulada. Ahora vamos a agregar la columna de frecuencia porcentual, y frecuencia porcentual acumulada.

Autos vendidos	Frecuencia absoluta	Frecuencia acumulada	Frecuencia relativa	Frec. relativa acumulada	Frecuencia porcentual	Frec. porcentual acumulada
0	8	8	0,267	0,267	26,7%	26,7%
1	7	15	0,233	0,500	23,3%	50,0%
2	7	22	0,233	0,733	23,3%	73,3%
3	5	27	0,167	0,900	16,7%	90,0%
4	3	30	0,100	1	10,0%	100%
Total	30		1		100%

Tablas de frecuencias con datos agrupados

Usamos las tablas de frecuencias con datos agrupados cuando la variable toma un gran número de valores o es una variable continua. Para ello, se agrupan los diferentes valores en intervalos de igual amplitud, a los cuáles llamamos clases.

Aparecen además algunos parámetros importantes:

• Límites de clase: cada clase es un intervalo que va desde el límite inferior, hasta el límite superior.
• Marca de clase: es el punto medio de cada intervalo, y representa a la clase para el cálculo de algunos parámetros.
• Amplitud de clase: es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior.

Los pasos para elaborar una tabla de frecuencias con datos agrupados, son los siguientes:

• Hallar el rango(R): R = Xmax– Xmin
• Hallar el número de intervalos (K). Si el problema no indica cuántos intervalos usar, se recomienda usar la regla de Sturgues: K = 1 + 3,322.log(n) ; siendo n el número de datos.
• Determinar la amplitud de clase (A): A = R/K
• Hallar el límite inferior y superior de cada clase, así como las marcas de clase.
• Colocar los valores hallados en las columnas de la tabla de frecuencias, con el siguiente orden: clases (intervalos), marcas de clase, frecuencia absoluta, frecuencia acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada. Además, se puede colocar la frecuencia porcentual y la frecuencia porcentual acumulada.

Recuerda que los intervalos no deben superponerse, es decir, deben ser mutuamente excluyentes.

Ejemplo 3:

Las notas de 35 alumnos en el examen final de estadística, calificado del 0 al 10, son las siguientes:

0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10; 10.

Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias con 5 intervalos o clases.

Solución:

• Hallamos el rango: R = Xmax– Xmin = 10 – 0 = 10.
• El número de intervalos (k), me lo da el enunciado del problema: k = 5.
• Calculamos la amplitud de clase: A = R/k = 10/5 = 2.
• Ahora hallamos los límites inferiores y superiores de cada clase, y elaboramos la tabla de frecuencias.

Intervalo	Marca de clase	Frecuencia absoluta	Frecuencia acumulada	Frecuencia relativa	Frec. relativa acumulada
[0 – 2)	1	8	8	0,229	0,229
[2 – 4)	3	7	15	0,200	0,429
[4 – 6)	5	8	23	0,229	0,658
[6 – 8)	6	6	29	0,171	0,829
[8 – 10]	9	6	35	0,171	1
Total		35		1

Ejemplo 4:

Un grupo de atletas se está preparando para una maratón siguiendo una dieta muy estricta. A continuación, viene el peso en kilogramos que ha logrado bajar cada atleta gracias a la dieta y ejercicios.

0,2	8,4	14,3	6,5	3,4
4,6	9,1	4,3	3,5	1,5
6,4	15,2	16,1	19,8	5,4
12,1	9,6	8,7	12,1	3,2

Elaborar una tabla de frecuencias con dichos valores.

Solución:

• Hallamos el rango: R = Xmax– Xmin = 19,8 – 0,2 = 19,6.
• El número de intervalos (k), lo calculamos usando la regla de Sturges: k = 1 + 3,322log(n) = 1 + 3,322.log(20) = 5,32. Podemos redondear el valor de k a 5
• Calculamos la amplitud de clase: A = R/k = 19,6/5 = 3,92. Redondeamos a 4.
• Ahora hallamos los límites inferiores y superiores de cada clase, y elaboramos la tabla de frecuencias.

Intervalo	Marca de clase	Frecuencia absoluta	Frecuencia acumulada	Frecuencia relativa	Frec. relativa acumulada
[0 – 4)	2	5	5	0,25	0,25
[4 – 8)	6	5	10	0,25	0,50
[8 – 12)	10	4	14	0,20	0,70
[12 – 16)	14	4	18	0,20	0,90
[16 – 20]	18	2	20	0,10	1
Total		20		1

Histogramas y gráficas

Instrucciones:
Ingrese al enlace
Realice en EXCEL gráficas e histogramas con los datos que se proporcionan.

http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/ciencias_empresariales/metod_estad_empresa/doc_generica/archivos/Ejercicios%20resueltos%20Tema%201.pdf

Tablas de Distribución de Frecuencias

Distribución de frecuencia

1. Recopilación de datos.
2. Tablas de frecuencias.

3. Clase o intervalo de clase
4. Marca de clase
5. Histograma de frecuencia
6. Polígono de frecuencia

1. RECOPILACIÓN DE DATOS

Para estudiar el comportamiento de un fenómeno se requiere información y esta se recopila

1) Por medio de encuestas (interrogatorio oral o escrito que se aplica a varias personas acerca del problema).
2) Por medio del registro de las observaciones que se hacen de él se obtienen los datos.

Entre los sistemas para ordenar los datos se encuentran principalmente dos:

a)La distribución de frecuencias es un método para organizar y resumir datos en una tabla estadística .
b) La representación gráfica. Estos sistemas de organización y descripción de los datos permiten realizar un análisis de datos univariado, bivariado o trivariado, dependiendo de los objetivos y de la naturaleza de la investigación

2. TABLAS DE FRCUENCIAS

DISTRIBUCIÓN

Una distribución de frecuencias constituye una tabla en el ámbito de investigación

La distribución de frecuencias puede ser simple o agrupada.

La distribución de frecuencias simple es una tabla que se construye con base en los siguientes datos: clase o variable (valores numéricos) en orden descendente o ascendente, tabulaciones o marcas de recuento y frecuencia.

La distribución de frecuencias agrupadas o acumulada es una tabla que contiene las columnas siguientes: intervalo de clase, puntos medios, tabulación frecuencias y frecuencias agrupadas.

DITRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE

EJEMPLO A:Se preguntó a un grupo de 50 alumnos de Ingeniería Industrial su materia preferida.

EJEMPLO B:

Se preguntó a un grupo de 35 alumnos su estatura en cm.

3. CLASE O INTERVALOS DE CLASE

Cuando los datos son cuantitativos y se presentan más de 15 valores diferentes, se recomienda resumir la información

Se distribuyen en grupos llamados clases o intervalos de clase y se determina el número de individuos que pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase.

EJEMPLO C:

La tabla que de tu derecha, es una distribución de frecuencias de alturas de un grupo de 100 estudiantes.
•La primera clase corresponde a la estatura de 60 a 62 y se representa 60 – 62.
•Su correspondiente frecuencia de clase es 5.
•Limites de los intervalos de clase
Tomando el primer intervalo de clase de la tabla que es 60 – 62.





• 60 es el límite inferior de clase. (menor)

• 62 es el límite superior de clase. (mayor)

Límites reales.Es el resultado de restar 0,5 al límite inferior de clases y luego sumar esa misma cantidad al límite superior de clases.

En el intervalo 60 – 62 , teóricamente incluye todas las medidas desde 59,5000 hasta 62,5000

Estos números, representado breve por los números exacto 59,5 es el límite real inferior y 62,5 el límite real superior.

Hay una ambigüedad, pues los límites reales de clase no coincide con las observaciones reales . Así si una observación fuese de 62,5 no seria posible discernir si pertenece al primer intervalo o al segundo de la tabla”.

4. MARCA DE CLASE

Es el punto medio (X) de cada clase y se obtiene sumando los límites de clase y dividiéndolos entre dos. Representa el valor medio de cada clase.

Tamaño o anchura de clase
Es la diferencia entre los límites reales de clase, o la diferencia entre los límites de clase más una unidad (la misma que se esté trabajando) ó la diferencia entre las marcas de clase. Representa el numero de datos incluidos en el intervalo.

CONCLUSIÓN
Con lo anterior antes expuesto sobre lo concerniente a la tabla de distribución de frecuencia y utilizando el Ejemplo c: tabla de una distribución de frecuencias de alturas en pulgada de un grupo de 100 estudiantes. Podemos resumir en la siguiente tabla.

5. HISTOGRAMA

1. Un histograma o histograma de frecuencia consiste en una serie de rectángulos que tiene:

a) Su base sobre el eje horizontal (eje X) con centro en la marca de clase y longitud de igual tamaño de los intervalos de clase

b) Superficies proporcionales a la frecuencias.

6. POLÍGONO DE FRECUENCIA

Tabla de Distribución de Frecuencias

Tablas de frecuencias, ejercicios resueltos

Veamos como construir una tabla de frecuencias con datos no agrupados, datos agrupados, y más.

Una tabla de frecuencias o distribución de frecuencias es una tabla que muestra cómo se distribuyen los datos de acuerdo a sus frecuencias. Elaborar una tabla de frecuencias es muy sencillo, y en este artículo te mostraremos como hacerlo.

Tenemos dos tipos de tablas de frecuencias:

• Tablas de frecuencias con datos no agrupados.
• Tablas de frecuencias con datos agrupados.

Tablas de frecuencias con datos no agrupados

Usamos este tipo de tablas cuando tenemos variables cualitativas, o variables cuantitativas con pocos valores.

Esta tabla está compuesta por las siguientes columnas:

• Valores de la variable: son los diferentes valores que toma la variable en el estudio.
• Frecuencia absoluta: es la cantidad de veces que aparece el valor en el estudio. La sumatoria de las frecuencias absolutas es igual al número de datos.
• Frecuencia acumulada: es el acumulado o suma de las frecuencias absolutas, indica cuantos datos se van contando hasta ese momento o cuántos datos se van reportando.
• Frecuencia relativa: es la fracción o proporción de elementos que pertenecen a una clase o categoría. Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número de datos del estudio.
• Frecuencia relativa acumulada: es la proporción de datos respecto al total que se han reportado hasta ese momento. Es la suma de las frecuencias relativas, y se puede calcular también dividiendo la frecuencia acumulada entre el número de datos del estudio.
• Frecuencia porcentual: es el porcentaje de elementos que pertenecen a una clase o categoría. Se puede calcular rápidamente multiplicando la frecuencia relativa por 100%.
• Frecuencia porcentual acumulada: es el porcentaje de datos respecto al total que se han reportado hasta ese momento. Se puede calcular rápidamente multiplicando la frecuencia relativa acumulada por 100%.

Ejemplo 1:

Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los siguientes resultados:

negro	azul	amarillo	rojo	azul
azul	rojo	negro	amarillo	rojo
rojo	amarillo	amarillo	azul	rojo
negro	azul	rojo	negro	amarillo

Con los resultados obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.

Solución:

En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa, y finalmente la frecuencia relativa acumulada. Por ser el primer problema, no haremos uso de las frecuencias porcentuales.

Color	Frecuencia absoluta	Frecuencia acumulada	Frecuencia relativa	Frecuencia relativa acumulada
Negro	4	4	0,20	0,20
Azul	5	9	0,25	0,45
Amarillo	5	14	0,25	0,70

Tablas de frecuencias con datos agrupados

Usamos las tablas de frecuencias con datos agrupados cuando la variable toma un gran número de valores o es una variable continua. Para ello, se agrupan los diferentes valores en intervalos de igual amplitud, a los cuáles llamamos clases.

Aparecen además algunos parámetros importantes:

• Límites de clase: cada clase es un intervalo que va desde el límite inferior, hasta el límite superior.
• Marca de clase: es el punto medio de cada intervalo, y representa a la clase para el cálculo de algunos parámetros.
• Amplitud de clase: es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior.

Los pasos para elaborar una tabla de frecuencias con datos agrupados, son los siguientes:

• Hallar el rango(R): R = Xmax– Xmin
• Hallar el número de intervalos (K). Si el problema no indica cuántos intervalos usar, se recomienda usar la regla de Sturgues: K = 1 + 3,322.log(n) ; siendo n el número de datos.
• Determinar la amplitud de clase (A): A = R/K
• Hallar el límite inferior y superior de cada clase, así como las marcas de clase.
• Colocar los valores hallados en las columnas de la tabla de frecuencias, con el siguiente orden: clases (intervalos), marcas de clase, frecuencia absoluta, frecuencia acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada. Además, se puede colocar la frecuencia porcentual y la frecuencia porcentual acumulada.

Recuerda que los intervalos no deben superponerse, es decir, deben ser mutuamente excluyentes.

Ejemplo 3:

Las notas de 35 alumnos en el examen final de estadística, calificado del 0 al 10, son las siguientes:

0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10; 10.

Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias con 5 intervalos o clases.

Solución:

• Hallamos el rango: R = Xmax– Xmin = 10 – 0 = 10.
• El número de intervalos (k), me lo da el enunciado del problema: k = 5. Ese es el numero de clases.
• Calculamos la amplitud de clase: A = R/k = 10/5 = 2.
• Ahora hallamos los límites inferiores y superiores de cada clase, y elaboramos la tabla de frecuencias.

Intervalo	Marca de clase	Frecuencia absoluta	Frecuencia acumulada	Frecuencia relativa	Frec. relativa acumulada
[0 – 2)	1	8	8	0,229	0,229
[2 – 4)	3	7	15	0,200	0,429
[4 – 6)	5	8	23	0,229	0,658
[6 – 8)	6	6	29	0,171	0,829
[8 – 10]	9	6	35	0,171	1
Total		35		1